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Álgebra Linear

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Seja H o conjunto dos vetores de R4 cuja soma das duas primeiras coordenadas é zero. Então H⊥, o complemento ortogonal de H, é:

(a) uma reta.
(b) um plano.
(c) um hiperplano.
(d) o R4.
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Listas, Testes e Provas - Alg Linear II
127 pág.

Listas, Testes e Provas - Alg Linear II

UFRJ

Respostas

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há 12 meses

Para determinar o complemento ortogonal \( H^\perp \) do conjunto \( H \) em \( \mathbb{R}^4 \), precisamos entender a definição de \( H \). O conjunto \( H \) é formado por vetores \( (x_1, x_2, x_3, x_4) \) em \( \mathbb{R}^4 \) que satisfazem a condição \( x_1 + x_2 = 0 \). Isso implica que podemos expressar \( x_2 \) como \( x_2 = -x_1 \). Portanto, os vetores em \( H \) podem ser escritos na forma: \[ (x_1, -x_1, x_3, x_4) \] Isso significa que \( H \) é um subespaço de dimensão 3 em \( \mathbb{R}^4 \) (já que temos 3 graus de liberdade: \( x_1, x_3, x_4 \)). O complemento ortogonal \( H^\perp \) em \( \mathbb{R}^4 \) terá dimensão \( 4 - \text{dim}(H) = 4 - 3 = 1 \). Portanto, \( H^\perp \) é uma reta. Assim, a alternativa correta é: (a) uma reta.

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Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações e assinale a alternativa correta: I - Se possui mais variáveis que equações, então sempre possui solução. II - Se possui mais equações que variáveis, então sempre possui solução.

A) As duas são verdadeiras
B) As duas são falsas
C) I é verdadeira e II é falsa
D) II é verdadeira e I é falsa

Considere as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações com número igual de equações e variáveis e assinale a alternativa correta: I - Se possui equações repetidas, então sempre possui infinitas soluções. II - Se todas as equações são distintas, então possui solução única.

A) As duas são verdadeiras
B) As duas são falsas
C) I é verdadeira e II é falsa
D) II é verdadeira e I é falsa

6) Classifique em V ou F as afirmativas abaixo sobre um sistema de equações S :AX=b: I ) A solução de S são os vetores que serão combinados para gerar o vetor b II) A solução de S são os coeficientes da combinação de vetores que gera o vetor b

12) Um sistema de equações nas variáveis x,y e z possui a seguinte matriz ampliada: Troque colunas e escalone a matriz acima com apenas uma operação elementar. Assinale os valores de x,y e z abaixo que resolvem o sistema. Faça a combinação linear das colunas da matriz ampliada e cheque que sua resposta está correta:

A) 3, 1 e 1
B) 3, 2 e -1
C) 1, 3 e 2
D) -1, 2 e 3

1) Seja A uma matriz que leva o vetor (1,1,1) no vetor (1,1,1,1,1). Quais as dimensões de A?

A) 3x5
B) 3x3
C) 5x3
D) 5x5

2) Se Ae1 = (1,2), Ae2 = (3,4) e X = (2,3), assinale o vetor AX:

A) (16,11)
B) (11,16)
C) (4,6)
D) (6,4)

4) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (1,2,1). Em qual vetor é levado o vetor (3,1)?

A) (1,1,2)
B) (3,4,3)
C) (2,3,2)
D) Não existe essa matriz

5) Uma matriz leva o vetor (1,1) em (1,1,1) e o vetor (1,-1) em (2,2,2). Em qual vetor é levado o vetor (2,0)?

A) (-1,-1,-1)
B) (0,0,0)
C) (1,2,3)
D) Não existe essa matriz

6) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (0,1) em (4,6) e (3,4), respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:

A) 9
B) 10
C) 11
D) Não é possível descobrir o valor dessa soma

7) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (2,2) em (3,3) e (5,5), respectivamente. Calcule a soma de todos os componentes de A:

A) 4
B) 6
C) 8
D) Não existe essa matriz A

8) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0) em (3,3) e (2,2), respectivamente. Assinale o elemento da primeira linha que está na primeira coluna:

A) 10
B) 11
C) 12
D) Não é possível descobrir o valor de

9) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1,1) e (1,1,0) em (6,15) e (3,9). Assinale a soma de todos os componentes da terceira coluna de A:

A) 9
B) 10
C) 11
D) Não é possível descobrir o valor dessa soma

10) Seja A uma matriz que leva os vetores (1,1) e (1,-1) em (4,4,10,14) e (-2,2,0,0). Assinale a soma de todos os componentes da primeira coluna de A:

A) 14
B) 15
C) 16
D) Não é possível descobrir o valor dessa soma

1) Sejam Z1 e Z2 soluções do sistema homogêneo S: AX= 0. Verifique as afirmativas abaixo: I ) Z1 + Z2 também é solução de S II) 2Z1 + 3Z2 também é solução de S

2) Sejam u,v e w vetores n x 1 tais que w = u+v e A é uma matriz mxn qualquer. Verifique as afirmativas abaixo: I ) A(u+v-w) = 0 II) Pelo menos um dos vetores Au, Av ou Aw tem que ser nulo

4) Seja Z uma solução não-nula do sistema homogêneo AX = 0 e sejam X1 e X2 soluções do sistema AX = b. Verifique as afirmativas abaixo: I ) X1 + X2 também é solução do sistema AX = b II) X1 + 5Z também é solução do sistema AX = b

5) Seja Z não-nulo tal que AZ = 0. Verifique as afirmativas abaixo: I ) Existe um vetor X, não nulo e diferente de Z, tal que AZ = X II) Existem infinitos vetores X tal que AX = 0

1) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes do vetor (1,2):

A) (0,0)
B) (2,4)
C) (-1,-2)
D) (1,1)
E) (2,1)
F) (111,222)
G) (111,111)

2) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos vetores (1,1) e (2,2):

A) (3,3)
B) (1,1)
C) (0,0)
D) (1,2)
E) (111,111)
F) (111,111.01)

3) Assinale abaixo os vetores que são linearmente independentes dos vetores (1,2) e (2,1):

A) (3,3)
B) (1,2)
C) (0,0)
D) (2,1)
E) (6,6)
F) (111,113)

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