Para encontrar a matriz que representa a transformação linear \( T(p) = p + \frac{dp}{dx} \) em relação à base \( \alpha = \{1, x, x^2\} \), precisamos aplicar a transformação a cada vetor da base e expressar o resultado em termos da mesma base. 1. Aplicando \( T \) à base: - Para \( p = 1 \): \[ T(1) = 1 + \frac{d(1)}{dx} = 1 + 0 = 1 \] - Para \( p = x \): \[ T(x) = x + \frac{d(x)}{dx} = x + 1 \] - Para \( p = x^2 \): \[ T(x^2) = x^2 + \frac{d(x^2)}{dx} = x^2 + 2x \] 2. Expressando os resultados em termos da base \( \alpha \): - \( T(1) = 1 \) pode ser escrito como \( 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \) → vetor \( (1, 0, 0) \) - \( T(x) = 1 + x \) pode ser escrito como \( 1 \cdot 1 + 1 \cdot x + 0 \cdot x^2 \) → vetor \( (1, 1, 0) \) - \( T(x^2) = 2x + x^2 \) pode ser escrito como \( 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 1 \cdot x^2 \) → vetor \( (0, 2, 1) \) 3. Montando a matriz \( A \): A matriz \( A \) que representa a transformação \( T \) em relação à base \( \alpha \) é formada pelas colunas que correspondem aos vetores obtidos: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Analisando as alternativas, a matriz correta é: (b) \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)