Vamos analisar cada uma das alternativas com base na propriedade do determinante. 1. (a) \( \text{det} [a \, b \, c \, g \, h \, i \, d \, e \, f] = -2 \) A troca de duas linhas (ou colunas) no determinante muda o sinal. Aqui, as linhas \(d, e, f\) e \(g, h, i\) foram trocadas, então o determinante muda de sinal. Portanto, essa afirmação é verdadeira: \( \text{det} = -2 \). 2. (b) \( \text{det} [g \, h \, i \, a \, b \, c \, d \, e \, f] = -2 \) Aqui, as linhas foram rearranjadas, mas não se pode afirmar que o determinante será negativo sem mais informações sobre a troca. Portanto, não podemos garantir que essa afirmação é verdadeira. 3. (c) \( \text{det} [2a \, 2b \, 2c \, 2d \, 2e \, 2f \, 2g \, 2h \, 2i] = 4 \) Quando multiplicamos todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar \(k\), o determinante é multiplicado por \(k\) elevado ao número de linhas (ou colunas). Aqui, multiplicamos por 2 em 3 linhas, então o determinante será \(2^3 \cdot 2 = 16\), não 4. Portanto, essa afirmação é falsa. 4. (d) \( \text{det} [a \, b \, c \, d \, e \, f \, 0 \, 0 \, 0] + \text{det} [0 \, 0 \, 0 \, 0 \, 0 \, 0 \, g \, h \, i] = 2 \) O determinante da primeira matriz é \(0\) (porque tem uma linha de zeros) e o da segunda também é \(0\). Portanto, essa afirmação é falsa. Com isso, a única alternativa correta é a (a) \( \text{det} [a \, b \, c \, g \, h \, i \, d \, e \, f] = -2 \).