A derivada de \( f(x) = x^{1/3} \) é: a) \( \frac{1}{3x^{2/3}} \) b) \( x^{-2/3} \) c) \( \frac{1}{3}x^{1/2} \) d) \( 2x^{1/3} \)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = x^{1/3} \), utilizamos a regra da potência, que diz que a derivada de \( x^n \) é \( n \cdot x^{n-1} \). 1. Identificamos \( n = \frac{1}{3} \). 2. Aplicamos a regra da potência: \[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{2/3}}. \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{1}{3x^{2/3}} \) - Correta. b) \( x^{-2/3} \) - Incorreta. c) \( \frac{1}{3}x^{1/2} \) - Incorreta. d) \( 2x^{1/3} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{3x^{2/3}} \).