67. (EEAR – 2019.1) Seja a função quadrática ????(????) = ????????' + ???????? + 1. Se ????(1) = 0 e ????(−1) = 6, então o valor de ???? é: A) 5 B) 4 C) 3 D) 2

Para resolver a função quadrática \( f(x) = ax^2 + bx + 1 \) com as condições dadas, vamos usar as informações: 1. \( f(1) = 0 \) 2. \( f(-1) = 6 \) Substituindo \( x = 1 \): \[ f(1) = a(1)^2 + b(1) + 1 = a + b + 1 = 0 \] Portanto, temos a equação: \[ a + b + 1 = 0 \quad \text{(1)} \] Agora, substituindo \( x = -1 \): \[ f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 1 = a - b + 1 = 6 \] Portanto, temos a equação: \[ a - b + 1 = 6 \quad \text{(2)} \] Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelas equações (1) e (2). Da equação (1): \[ a + b = -1 \quad \text{(3)} \] Da equação (2): \[ a - b = 5 \quad \text{(4)} \] Agora, somando as equações (3) e (4): \[ (a + b) + (a - b) = -1 + 5 \] \[ 2a = 4 \implies a = 2 \] Substituindo \( a = 2 \) na equação (3): \[ 2 + b = -1 \implies b = -3 \] Portanto, temos \( a = 2 \) e \( b = -3 \). Assim, o valor de \( a \) é 2. A alternativa correta é: D) 2