Exerćıcio 6 (a) Calcule lim x→+∞ 2x+ 5 2x3 + 4x− 1 (b) Mostre que existe r > 0 tal que x > r ⇒ 0 < 2x+ 5 2x3 + 4x− 1 < 1 2 .

Para resolver o limite e a desigualdade proposta, vamos analisar cada parte. ### (a) Calcule o limite: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 5}{2x^3 + 4x - 1} \] Para calcular esse limite, vamos dividir todos os termos pelo maior grau de \(x\) no denominador, que é \(x^3\): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x}{x^3} + \frac{5}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{4x}{x^3} - \frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{2 + \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}} \] À medida que \(x\) tende a \(+\infty\), os termos \(\frac{2}{x^2}\), \(\frac{5}{x^3}\), \(\frac{4}{x^2}\) e \(\frac{1}{x^3}\) tendem a 0. Portanto, o limite se torna: \[ \frac{0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{0}{2} = 0 \] ### (b) Mostre que existe \(r > 0\) tal que \(x > r \Rightarrow 0 < \frac{2x + 5}{2x^3 + 4x - 1} < \frac{1}{2}\). Para isso, precisamos encontrar um valor de \(r\) tal que a fração seja positiva e menor que \(\frac{1}{2}\) para \(x > r\). 1. Positividade: Para \(x > 0\), tanto o numerador \(2x + 5\) quanto o denominador \(2x^3 + 4x - 1\) são positivos, pois \(2x^3\) cresce mais rapidamente que \(4x\) e \(1\) para \(x\) grande. 2. Desigualdade: Queremos mostrar que: \[ \frac{2x + 5}{2x^3 + 4x - 1} < \frac{1}{2} \] Multiplicando ambos os lados por \(2(2x^3 + 4x - 1)\) (que é positivo para \(x\) suficientemente grande): \[ 4x + 10 < 2x^3 + 4x - 1 \] Simplificando: \[ 10 < 2x^3 - 1 \implies 2x^3 > 11 \implies x^3 > \frac{11}{2} \implies x > \sqrt[3]{\frac{11}{2}} \approx 2.08 \] Portanto, podemos escolher \(r = 2.1\) (ou qualquer valor maior que \(2.08\)). ### Resumo das respostas: - (a) O limite é \(0\). - (b) Existe \(r > 0\) tal que \(x > r \Rightarrow 0 < \frac{2x + 5}{2x^3 + 4x - 1} < \frac{1}{2}\) para \(r \approx 2.1\).