Para analisar o limite de \( P(n) \) quando \( n \to \infty \), vamos reescrever \( P(n) \): \[ P(n) = \prod_{k=1}^{n-1} \left( 1 + \frac{k}{n^2} \right) \] Usando a aproximação \( \ln(1 + x) \approx x \) para \( x \) pequeno, temos: \[ \ln P(n) = \sum_{k=1}^{n-1} \ln\left( 1 + \frac{k}{n^2} \right) \approx \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n^2} \] A soma \( \sum_{k=1}^{n-1} k \) é uma soma de uma progressão aritmética, que pode ser calculada como: \[ \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} \] Portanto, temos: \[ \ln P(n) \approx \frac{1}{n^2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)}{2n} \] Quando \( n \to \infty \), \( \frac{(n-1)}{2n} \to \frac{1}{2} \). Assim, temos: \[ \ln P(n) \to \frac{1}{2} \] Portanto, \( P(n) \) converge para: \[ P(n) \to e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \] Assim, o limite de \( P(n) \) quando \( n \to \infty \) é \( \sqrt{e} \).