Para resolver essa questão, vamos analisar as informações dadas sobre as médias geométricas. 1. Média geométrica de \(x^2\) e \(b\): \[ a = \sqrt{x^2 \cdot b} \implies a^2 = x^2 \cdot b \implies b = \frac{a^2}{x^2} \] 2. Média geométrica de \(a^3\) e \(2y\): \[ b = \sqrt{a^3 \cdot 2y} \implies b^2 = a^3 \cdot 2y \] Agora, substituímos \(b\) da primeira equação na segunda: \[ \left(\frac{a^2}{x^2}\right)^2 = a^3 \cdot 2y \] \[ \frac{a^4}{x^4} = a^3 \cdot 2y \] Multiplicando ambos os lados por \(x^4\): \[ a^4 = 2y \cdot a^3 \cdot x^4 \] Dividindo ambos os lados por \(a^3\) (já que \(a\) é positivo): \[ a = 2y \cdot x^4 \] Agora, isolamos \(y\): \[ y = \frac{a}{2x^4} \] Agora, precisamos encontrar o valor de \(y\) em termos de \(b^3 = xy\): Substituindo \(b\) na equação \(b^3 = xy\): \[ \left(\frac{a^2}{x^2}\right)^3 = x \cdot \frac{a}{2x^4} \] Simplificando: \[ \frac{a^6}{x^6} = \frac{a}{2x^3} \] Multiplicando ambos os lados por \(2x^3\): \[ 2a^6 = ax^3 \] Dividindo ambos os lados por \(a\) (novamente, \(a\) é positivo): \[ 2a^5 = x^3 \] Agora, substituímos \(x\) em termos de \(a\): \[ x = (2a^5)^{1/3} \] Por fim, substituímos \(x\) na expressão de \(y\) e verificamos qual alternativa se encaixa. Após a análise, a alternativa correta é: A) \( \frac{4y^3}{9} \).