Para resolver a equação diferencial \( Y'' - 4Y' + xY = 0 \) usando uma série de potências em torno de \( x_0 = 0 \), começamos assumindo uma solução da forma: \[ Y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n \] Calculamos as derivadas: \[ Y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n A_n x^{n-1} \] \[ Y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) A_n x^{n-2} \] Substituindo \( Y \), \( Y' \) e \( Y'' \) na equação original: \[ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) A_n x^{n-2} - 4 \sum_{n=1}^{\infty} n A_n x^{n-1} + x \sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n = 0 \] Agora, ajustamos os índices para que todos os somatórios tenham a mesma potência de \( x \): 1. Para \( Y'' \), trocamos \( n \) por \( n+2 \): \[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) A_{n+2} x^n \] 2. Para \( -4Y' \), trocamos \( n \) por \( n+1 \): \[ -4 \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) A_{n+1} x^n \] 3. Para \( xY \), mantemos como está: \[ \sum_{n=0}^{\infty} A_n x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} A_{n-1} x^n \] Agora, a equação se torna: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ (n+2)(n+1) A_{n+2} - 4(n+1) A_{n+1} + A_{n-1} \right] x^n = 0 \] Para que a soma seja zero para todo \( x \), os coeficientes devem ser iguais a zero: \[ (n+2)(n+1) A_{n+2} - 4(n+1) A_{n+1} + A_{n-1} = 0 \] Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes \( A_n \). Você pode usar valores iniciais, como \( A_0 \) e \( A_1 \), para calcular os demais coeficientes. Assim, a série de potências que resolve a equação diferencial é: \[ Y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n x^n \] onde os \( A_n \) são determinados pela relação de recorrência.