Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}\). 1. Explicação: Use a expansão em série de Taylor para \(\sin(x^2)\).

Para encontrar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}\), podemos usar a expansão em série de Taylor para \(\sin(x)\): \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots \] Substituindo \(x^2\) no lugar de \(x\): \[ \sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \ldots = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \ldots \] Agora, substituímos isso na expressão do limite: \[ \frac{\sin(x^2)}{x^2} = \frac{x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \ldots}{x^2} = 1 - \frac{x^4}{6} + \frac{x^8}{120} - \ldots \] Quando \(x\) se aproxima de 0, os termos que contêm \(x\) vão para 0. Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1 \] Assim, o valor do limite é \(1\).