contas e mais contas F4M

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<p>37. **Determine a derivada de \(f(x) = x \ln(x^2 + 1)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}\). Explicação: Use a regra do produto.</p><p>38. **Calcule a integral \(\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\int \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right) \, dx\) = \(x + 2 \ln|x| - \frac{1}{x} +</p><p>C\). Explicação: Separe a integral em partes.</p><p>39. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\).**</p><p>Resposta: 0. Explicação: O logaritmo cresce mais devagar que \(x\).</p><p>40. **Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\).**</p><p>Resposta: Não existe uma antiderivada expressa em termos de funções elementares.</p><p>Explicação: O integral não pode ser expressa em termos de funções elementares.</p><p>41. **Determine a derivada de \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2}\). Explicação: Use a regra do quociente.</p><p>42. **Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4x + 5} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x + 2}{\sqrt{3}}\right) + C\). Explicação:</p><p>Complete o quadrado no denominador e use a substituição apropriada.</p><p>43. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x \ln(x)}\).**</p><p>Resposta: \(\infty\). Explicação: O logaritmo tende a \(-\infty\) e \(x\) a 0 positivo,</p><p>resultando em infinito.</p><p>44. **Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^3 + x} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| - \frac{1}{2} \ln \left| x^2 + 1</p><p>\right| + C\). Explicação: Decomponha em frações parciais.</p><p>45. **Determine a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{1 + x^4}\). Explicação: Use a regra da cadeia.</p><p>46. **Calcule a integral \(\int \frac{e^{x}}{x^2} \, dx\).**</p><p>Resposta: Não pode ser expressa em termos de funções elementares. Explicação: O integral</p><p>é uma função especial conhecida como integral exponencial.</p><p>47. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 3}{2x^2 + 3x}\).**</p><p>Resposta: \(\frac{1}{2}\). Explicação: Divida numerador e denominador por \(x^2\).</p><p>48. **Calcule a integral \(\int \frac{\sqrt{x}}{1 + x} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\text{ln}(\sqrt{x}) - \text{ln}(1 + x) + C\). Explicação: Use a substituição \(u =</p><p>\sqrt{x}\).</p><p>49. **Determine a derivada de \(f(x) = \sin^2(x)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = 2 \sin(x) \cos(x)\). Explicação: Use a regra da cadeia.</p><p>50. **Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\ln|1 + e^x| + C\). Explicação: Use a substituição \(u = 1 + e^x\).</p><p>51. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x}{2x^2 + 5}\).**</p><p>Resposta: \(\frac{3}{2}\). Explicação: Divida numerador e denominador por \(x^2\).</p><p>52. **Calcule a integral \(\int \frac{\cos(x)}{1 + \sin^2(x)} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\arctan(\sin(x)) + C\). Explicação: Use a substituição \(u = \sin(x)\).</p><p>53. **Determine a derivada de \(f(x) = x^2 e^{-x}\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = x^2 e^{-x} - 2x e^{-x}\). Explicação: Use a regra do produto.</p><p>54. **Calcule a integral \(\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\frac{1}{3} \left(\sqrt{2} - 1\right)\). Explicação: Use a substituição \(u =</p><p>\sqrt{x^2 + 1}\).</p><p>55. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\).**</p><p>Resposta: \(-\frac{1}{2}\). Explicação: Use a expansão em série de Taylor para \(\cos(x)\).</p><p>56. **Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}\).**</p><p>Resposta: \(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} + C\). Explicação: Use a substituição trigonométrica.</p><p>57. **Determine a derivada de \(f(x) = \sin(x^2 + 1)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = 2x \cos(x^2 + 1)\). Explicação: Use a regra da cadeia.</p><p>58. **Calcule a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\) de \(-\infty\) a \(\infty\).**</p><p>Resposta: \(\sqrt{\pi}\). Explicação: Esta integral é conhecida como a integral de Gauss.</p><p>59. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\).**</p><p>Resposta: 3. Explicação: Fatorize o numerador e simplifique.</p><p>60. **Calcule a integral \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\).**</p><p>Resposta: Não existe uma antiderivada expressa em termos de funções elementares.</p><p>Explicação: Esta integral é conhecida como a integral exponencial.</p><p>61. **Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 + 2x^2)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = \frac{3x^2 + 4x}{x^3 + 2x^2}\). Explicação: Use a regra da cadeia.</p><p>62. **Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2</p><p>}\).**</p><p>Resposta: \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left(\frac{x + 1}{\sqrt{3}}\right) + C\). Explicação:</p><p>Complete o quadrado no denominador e use a substituição apropriada.</p><p>63. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 4}{3x^2 - 1}\).**</p><p>Resposta: \(\frac{5}{3}\). Explicação: Divida numerador e denominador por \(x^2\).</p><p>64. **Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\). Explicação: Use a substituição trigonométrica.</p><p>65. **Determine a derivada de \(f(x) = \arcsin(x)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\). Explicação: Use a fórmula conhecida para a</p><p>derivada da função arco-seno.</p><p>66. **Calcule a integral \(\int e^{x} \sin(x) \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\frac{e^x (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C\). Explicação: Use integração por partes duas</p><p>vezes.</p><p>67. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}\).**</p><p>Resposta: 2. Explicação: Este é o limite que representa a derivada de \(e^{2x}\) em \(x = 0\).</p><p>68. **Calcule a integral \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 1}} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\text{arcsinh}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \(u = x^2 + 1\).</p><p>69. **Determine a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = 2x \sec^2(x^2)\). Explicação: Use a regra da cadeia.</p><p>70. **Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 \ln(x)}\).**</p><p>Resposta: \(-\frac{\ln|\ln(x)|}{x} + C\). Explicação: Use a substituição \(u = \ln(x)\).</p><p>71. **Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2}\).**</p><p>Resposta: 1. Explicação: Use a expansão em série de Taylor para \(\sin(x^2)\).</p><p>72. **Calcule a integral \(\int x e^{x^2} \, dx\).**</p><p>Resposta: \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\). Explicação: Use a substituição \(u = x^2\).</p><p>73. **Determine a derivada de \(f(x) = \arccos(x)\).**</p><p>Resposta: \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\). Explicação: Use a fórmula conhecida para a</p><p>derivada da função arco-cosseno.</p><p>74. **Calcule a integral \(\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}\).**</p>