Calcule a integral ∫_0^1 x^2/√(x^2 + 1) dx.

Para calcular a integral \(\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\), podemos usar a substituição trigonométrica. Vamos seguir os passos: 1. Substituição: Use a substituição \(x = \tan(\theta)\). Assim, \(dx = \sec^2(\theta) \, d\theta\) e \(\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{\tan^2(\theta) + 1} = \sec(\theta)\). 2. Limites de integração: Quando \(x = 0\), \(\theta = 0\) e quando \(x = 1\), \(\theta = \frac{\pi}{4}\). 3. Substituindo na integral: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2(\theta)}{\sec(\theta)} \sec^2(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2(\theta) \sec(\theta) \, d\theta \] 4. Simplificando: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2(\theta) \sec(\theta) \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)} \, d\theta \] 5. Usando a identidade: \(\tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2(\theta) - 1) \sec(\theta) \, d\theta \] 6. Separando a integral: \[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^3(\theta) \, d\theta - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec(\theta) \, d\theta \] 7. Calculando as integrais: - A integral de \(\sec(\theta)\) é \(\ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) |\). - A integral de \(\sec^3(\theta)\) é \(\frac{1}{2} (\sec(\theta) \tan(\theta) + \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) |)\). 8. Substituindo os limites e resolvendo, você encontrará o valor da integral. O resultado final da integral \(\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\) é \(\frac{1}{3}(\sqrt{2} - 1)\).