Para encontrar a abscissa do centro de massa de um sólido em forma de cubo com a densidade dada, precisamos usar a fórmula do centro de massa: \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \int_V x \cdot \rho(x, y, z) \, dV \] onde \( M \) é a massa total do sólido e \( \rho(x, y, z) \) é a densidade. 1. Definindo a densidade: A densidade é dada por \( \rho(x, y, z) = 6(x^2 + y^2 + z^2) \). 2. Calculando a massa total \( M \): \[ M = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 6(x^2 + y^2 + z^2) \, dx \, dy \, dz \] Isso pode ser separado em três integrais: \[ M = 6 \left( \int_0^1 x^2 \, dx \int_0^1 dy \int_0^1 dz + \int_0^1 y^2 \, dy \int_0^1 dx \int_0^1 dz + \int_0^1 z^2 \, dz \int_0^1 dx \int_0^1 dy \right) \] Cada integral de \( x^2 \), \( y^2 \) e \( z^2 \) de 0 a 1 é \( \frac{1}{3} \), então: \[ M = 6 \left( \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \right) = 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 6 \] 3. Calculando \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x \cdot 6(x^2 + y^2 + z^2) \, dx \, dy \, dz \] Novamente, isso se separa em três integrais: \[ \bar{x} = \frac{1}{6} \left( 6 \left( \int_0^1 x^3 \, dx \int_0^1 dy \int_0^1 dz + \int_0^1 y^2 \, dy \int_0^1 x \, dx \int_0^1 dz + \int_0^1 z^2 \, dz \int_0^1 dx \int_0^1 dy \right) \right) \] A integral de \( x^3 \) de 0 a 1 é \( \frac{1}{4} \), então: \[ \bar{x} = \frac{1}{6} \left( 6 \left( \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 \right) \right) \] Simplificando: \[ \bar{x} = \frac{1}{6} \left( 6 \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right) \right) \] Para somar \( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \), precisamos de um denominador comum: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12} \] Portanto: \[ \bar{x} = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \frac{11}{12} = \frac{11}{12} \] Assim, a abscissa do centro de massa do cubo é \( \bar{x} = \frac{11}{12} \).