Para resolver a integral \(\int e^{z} \sin(z) dz\), podemos usar o método de integração por partes ou a fórmula de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. A integral \(\int e^{z} \sin(z) dz\) resulta em: \[ \int e^{z} \sin(z) dz = \frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) - \cos(z)) + C \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{2} e^{z} \sin(z) + C\) - Incorreta. b) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) + \cos(z)) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) - \cos(z)) + C\) - Correta. d) \(e^{z} \sin(z) + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: c) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) - \cos(z)) + C\).