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Qual é a integral \(\int \frac{1}{z^3 + 1} dz\)?

a) \(\frac{1}{3} \ln(z^3 + 1) + C\)
b) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(z) + C\)
c) \(\frac{1}{3} \ln\left(z + 1\right) + C\)
d) \(-\frac{1}{3z^2} + C\)
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Desafios para Aprender

há 10 meses

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há 10 meses

Processos Estocásticos bkak
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Respostas

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há 10 meses

Para resolver a integral \(\int \frac{1}{z^3 + 1} dz\), precisamos lembrar que \(z^3 + 1\) pode ser fatorado como \((z + 1)(z^2 - z + 1)\). A integral pode ser resolvida utilizando a decomposição em frações parciais. Após a decomposição, a integral se torna mais simples e pode ser resolvida. Após realizar os cálculos, a integral resulta em: \[ \int \frac{1}{z^3 + 1} dz = \frac{1}{3} \ln(z^3 + 1) + C \] Analisando as alternativas: a) \(\frac{1}{3} \ln(z^3 + 1) + C\) - Correta. b) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(z) + C\) - Incorreta. c) \(\frac{1}{3} \ln(z + 1) + C\) - Incorreta. d) \(-\frac{1}{3z^2} + C\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{3} \ln(z^3 + 1) + C\).

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Qual é a integral \(\int e^{z} \sin(z) dz\)?

a) \(\frac{1}{2} e^{z} \sin(z) + C\)
b) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) + \cos(z)) + C\)
c) \(\frac{1}{2} e^{z} (\sin(z) - \cos(z)) + C\)
d) \(e^{z} \sin(z) + C\)

Qual é o valor de \(\lim_{z \to \infty} \frac{5z^3 + z}{2z^3 - 3}\)?

a) 0
b) 1
c) \(\frac{5}{2}\)
d) \(\infty\)

Qual é a integral \(\int z^3 e^{z^4} dz\)?

a) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + C\)
b) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + \frac{1}{4} + C\)
c) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + \frac{1}{16} + C\)
d) \(\frac{1}{4} e^{z^4} + z + C\)

Qual é a derivada de \(\tan^{-1}(z)\)?

a) \(\frac{1}{1 + z^2}\)
b) \(\frac{1}{z^2}\)
c) \(\frac{1}{1 - z^2}\)
d) \(\frac{1}{z}\)

Qual é o valor de \(\lim_{z \to 0} \frac{z^2}{\tan(z)}\)?

a) 0
b) 1
c) \(\infty\)
d) Não existe

Qual é a derivada de \(\cos(z)\)?

a) \(-\sin(z)\)
b) \(\sin(z)\)
c) \(-\cos(z)\)
d) \(\cos(z)\)

Qual é o valor de \(\lim_{z \to 0} \frac{\sin(z)}{z^2}\)?

a) 0
b) 1
c) \(\infty\)
d) Não existe

Qual é a integral \(\int \frac{1}{z^2 - 1} dz\)?

a) \(\frac{1}{2} \ln\left|\frac{z-1}{z+1}\right| + C\)
b) \(\frac{1}{2} \ln(z^2 - 1) + C\)
c) \(\tan^{-1}(z) + C\)
d) \(-\frac{1}{z} + C\)

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