A série de Taylor de \(\sin(x)\) em torno de \(x = 0\) é dada por: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] Explicação: 1. Derivadas de \(\sin(x)\): As derivadas de \(\sin(x)\) alternam entre \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\): - \(\sin(0) = 0\) - \(\cos(0) = 1\) - \(-\sin(0) = 0\) - \(-\cos(0) = -1\) 2. Fórmula da série de Taylor: A série de Taylor é dada por: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \] 3. Substituindo as derivadas: - Para \(n = 0\): \(f(0) = 0\) - Para \(n = 1\): \(f'(0) = 1\) → \(\frac{1}{1!}x\) - Para \(n = 2\): \(f''(0) = 0\) → não contribui - Para \(n = 3\): \(f'''(0) = -1\) → \(-\frac{1}{3!}x^3\) - E assim por diante, alternando os sinais. 4. Resultado final: A soma dos termos resulta na série de Taylor mencionada. Essa série converge para \(\sin(x)\) para todos os valores de \(x\).