Mostre que a equação x3 − x− 1 = 0 admite uma raiz em [1, 2].

Para mostrar que a equação \( x^3 - x - 1 = 0 \) admite uma raiz no intervalo \([1, 2]\), podemos usar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado \([a, b]\) e assume valores de sinais opostos em \(a\) e \(b\), então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. 1. Definindo a função: \[ f(x) = x^3 - x - 1 \] 2. Calculando \(f(1)\): \[ f(1) = 1^3 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 \] 3. Calculando \(f(2)\): \[ f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 \] 4. Analisando os sinais: - \(f(1) = -1\) (negativo) - \(f(2) = 5\) (positivo) Como \(f(1) < 0\) e \(f(2) > 0\), e sabendo que \(f(x)\) é uma função contínua, podemos concluir que existe pelo menos uma raiz da equação \(x^3 - x - 1 = 0\) no intervalo \([1, 2]\).