Determine o limite de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{2 \ln(x)}\). Resposta: \(\frac{1}{2}\).

Para determinar o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{2 \ln(x)}\), vamos analisar a expressão passo a passo. 1. Simplificação do numerador: Quando \(x\) tende a \(\infty\), temos: \[ \ln(x^2 + 1) \approx \ln(x^2) = 2 \ln(x) \] Portanto, podemos escrever: \[ \ln(x^2 + 1) \sim 2 \ln(x) \quad \text{(para } x \to \infty\text{)} \] 2. Substituindo na expressão do limite: Agora, substituímos isso na expressão do limite: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{2 \ln(x)} \approx \lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln(x)}{2 \ln(x)} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \] 3. Conclusão: Portanto, o limite é: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{2 \ln(x)} = 1 \] A resposta correta é \(1\), não \(\frac{1}{2}\).