Determine o limite de \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3}\). Resposta: \(\infty\).

Para determinar o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a \(\infty\). 1. Aplicar a regra de L'Hôpital: Derivamos o numerador e o denominador. - Derivada de \(e^x\) é \(e^x\). - Derivada de \(x^3\) é \(3x^2\). Assim, temos: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{3x^2} \] 2. Aplicar a regra de L'Hôpital novamente: O numerador ainda é \(e^x\) e o denominador agora é \(3x^2\). - Derivada de \(e^x\) é \(e^x\). - Derivada de \(3x^2\) é \(6x\). Assim, temos: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{3x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{6x} \] 3. Aplicar a regra de L'Hôpital mais uma vez: - Derivada de \(e^x\) é \(e^x\). - Derivada de \(6x\) é \(6\). Assim, temos: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{6} \] 4. Resultado final: Como \(e^x\) tende a \(\infty\) quando \(x\) tende a \(\infty\), temos: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^3} = \infty \] Portanto, a resposta correta é \(\infty\).