Determine a integral definida de \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx. \frac{1}{12}

Para calcular a integral definida \(\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx\), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada: \[ \int (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \] Avaliando em \(x = 1\): \[ \frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \] Colocando tudo em um denominador comum (12): \[ \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{3 - 8 + 6}{12} = \frac{1}{12} \] 3. Resultado: \[ \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \frac{1}{12} \] Portanto, a integral definida é \(\frac{1}{12}\).