Para resolver as questões sobre a transformação linear \( F: V \to \mathbb{R}^5 \), vamos aplicar o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Rango-Nulidade). ### (a) Se \( F \) é sobrejetora e \( \text{dim} N(F) = 2 \), qual é a \( \text{dim} V \)? Sabemos que, para uma transformação linear, a relação entre as dimensões é dada por: \[ \text{dim} V = \text{dim} N(F) + \text{dim} R(F) \] Onde: - \( \text{dim} N(F) \) é a dimensão do núcleo de \( F \). - \( \text{dim} R(F) \) é a dimensão da imagem de \( F \). Como \( F \) é sobrejetora, a dimensão da imagem \( \text{dim} R(F) \) é igual à dimensão do espaço de chegada, que é \( 5 \) (já que \( F \) mapeia para \( \mathbb{R}^5 \)). Portanto, temos: \[ \text{dim} R(F) = 5 \] \[ \text{dim} N(F) = 2 \] Substituindo na fórmula: \[ \text{dim} V = 2 + 5 = 7 \] ### (b) Se \( F \) é injetora e sobrejetora, qual é a \( \text{dim}(V) \)? Se \( F \) é injetora e sobrejetora, isso significa que \( F \) é uma bijeção. Portanto, a dimensão do núcleo \( \text{dim} N(F) \) é \( 0 \) (não há elementos não triviais no núcleo) e a dimensão da imagem \( \text{dim} R(F) \) é igual à dimensão do espaço de chegada, que é \( 5 \). Assim, temos: \[ \text{dim} N(F) = 0 \] \[ \text{dim} R(F) = 5 \] Substituindo na fórmula: \[ \text{dim} V = 0 + 5 = 5 \] ### Resumo das respostas: - (a) \( \text{dim} V = 7 \) - (b) \( \text{dim} V = 5 \) Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!