Sejam T : V → V e S : W → W operadores lineares, onde [T ]B = [ 1 2 1 0 5 2 −1 3 2 ] e [S]C = [ 1 2 3 4 0 −1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 ] , para determinadas bases B e C de V e W respectivamente. Procure observar neste exerćıcio as seguintes propriedades:

(a) Se um operador admite λ = 0 como autovalor, então T não é inverśıvel.
(b) Se ao invés das matrizes acima, tivéssemos a sua transposta, os autovalores permaneceriam os mesmos.
(c) Os autovalores de uma transformação liner cuja matriz com respeito a uma base é triangular, os auto-valores são os elementos da diagonal principal.

Question

Sejam T : V → V e S : W → W operadores lineares, onde [T ]B = [ 1 2 1 0 5 2 −1 3 2 ] e [S]C = [ 1 2 3 4 0 −1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 ] , para determina...

Ed · Answer

Vamos analisar as propriedades apresentadas uma a uma:

(a) Se um operador admite λ = 0 como autovalor, então T não é inversível.  
**Verdadeiro.** Um operador linear não é inversível se possui um autovalor igual a zero, pois isso implica que existe um vetor não nulo que é mapeado para o vetor nulo, o que significa que a transformação não é injetora.

(b) Se ao invés das matrizes acima, tivéssemos a sua transposta, os autovalores permaneceriam os mesmos.  
**Verdadeiro.** Os autovalores de uma matriz e de sua transposta são os mesmos. Isso é uma propriedade fundamental das matrizes.

(c) Os autovalores de uma transformação linear cuja matriz com respeito a uma base é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal principal.  
**Verdadeiro.** Para matrizes triangulares, os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal.

Portanto, todas as alternativas (a), (b) e (c) são verdadeiras. Se você precisa de uma única resposta correta, todas são válidas, mas se a questão pede para escolher uma, você pode optar por qualquer uma delas, dependendo do contexto da pergunta.

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Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.

(a) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x2, y).
(b) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x, x+ 1).
(c) T : IR2 → M2(IR);T (x, y) = [2y 3x; -y x+ y].
(d) T : P3(IR) → P2(IR);T (ax3 + bx2 + cx+ d) = bx2 + cx+ d.

Considere a aplicação T : IR2 → IR3 definida por T (x, y) = (x + ky, x + k, y). Verifique em que casos T é linear: k = x, k = 0, k = 1, k = y.

Encontrar a imagem do quadrado de vértices P1 = (0, 0), P2 = (1, 0), P3 = (0, 1) e P4 = (1, 1) pela transformação linear dada por T (x, y) = (−x+ 2y, 2x− y). Esboce um desenho.

Seja T : U → V transformação linear tal que T (u) = 3u e T (v) = u− v. Calcular em função de u e v :

(a) T (u+ v)
(b) T (3v)
(c) T (4u− 5v).

Seja T : IR3 → IR2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4).

(a) Determine T (x, y, z).
(b) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (−3,−2).
(c) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (0, 0).

Encontrar a transformação linear T : IR2 → IR2 que leva um ponto (x, y) em:

(a) Sua reflexão em torno da reta y = −x.
(b) Sua reflexão através da origem.
(c) Sua projeção ortogonal sobre o eixo x.

Achar a transformação linear T : IR3 → IR3 que leva o ponto (x, y, z) em sua reflexão através do plano xy.

Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear T : M2(IR) → M2(IR) definida por T (X) = MX −XM sendo M = [[1 2; 0 1]].

Considere T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (x, y, 0). Qual é o núcleo e a imagem da transformação linear? Neste caso, o que representam estes conjuntos geometricamente? Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação?

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Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.(a) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x2, y).(b) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x, x+ 1).(c) T : IR2 → M2(IR);T (x, y) = [2y 3x; -y x+ y].(d) T : P3(IR) → P2(IR);T (ax3 + bx2 + cx+ d) = bx2 + cx+ d.

Considere a aplicação T : IR2 → IR3 definida por T (x, y) = (x + ky, x + k, y). Verifique em que casos T é linear: k = x, k = 0, k = 1, k = y.

Encontrar a imagem do quadrado de vértices P1 = (0, 0), P2 = (1, 0), P3 = (0, 1) e P4 = (1, 1) pela transformação linear dada por T (x, y) = (−x+ 2y, 2x− y). Esboce um desenho.

Seja T : U → V transformação linear tal que T (u) = 3u e T (v) = u− v. Calcular em função de u e v :(a) T (u+ v)(b) T (3v)(c) T (4u− 5v).

Seja T : IR3 → IR2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4).(a) Determine T (x, y, z).(b) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (−3,−2).(c) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (0, 0).

Encontrar a transformação linear T : IR2 → IR2 que leva um ponto (x, y) em:(a) Sua reflexão em torno da reta y = −x.(b) Sua reflexão através da origem.(c) Sua projeção ortogonal sobre o eixo x.

Achar a transformação linear T : IR3 → IR3 que leva o ponto (x, y, z) em sua reflexão através do plano xy.

Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear T : M2(IR) → M2(IR) definida por T (X) = MX −XM sendo M = [[1 2; 0 1]].

Considere T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (x, y, 0). Qual é o núcleo e a imagem da transformação linear? Neste caso, o que representam estes conjuntos geometricamente? Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação?

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Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.

(a) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x2, y).
(b) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x, x+ 1).
(c) T : IR2 → M2(IR);T (x, y) = [2y 3x; -y x+ y].
(d) T : P3(IR) → P2(IR);T (ax3 + bx2 + cx+ d) = bx2 + cx+ d.

Seja T : U → V transformação linear tal que T (u) = 3u e T (v) = u− v. Calcular em função de u e v :

(a) T (u+ v)
(b) T (3v)
(c) T (4u− 5v).

Seja T : IR3 → IR2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4).

(a) Determine T (x, y, z).
(b) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (−3,−2).
(c) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (0, 0).

Encontrar a transformação linear T : IR2 → IR2 que leva um ponto (x, y) em:

(a) Sua reflexão em torno da reta y = −x.
(b) Sua reflexão através da origem.
(c) Sua projeção ortogonal sobre o eixo x.