Para determinar o plano que contém a interseção dos planos \(\pi_1\) e \(\pi_2\) e é ortogonal ao vetor \(\vec{n} = (-1, 1, -1)\), siga os passos abaixo: 1. Encontrar a interseção dos planos \(\pi_1\) e \(\pi_2\): - Os planos são dados por: \[ \pi_1: x - y + z + 1 = 0 \] \[ \pi_2: x + y - z - 1 = 0 \] - Para encontrar a interseção, resolva o sistema de equações formado por essas duas equações. 2. Resolver o sistema: - Da equação \(\pi_1\), podemos expressar \(z\): \[ z = y - x - 1 \] - Substituindo \(z\) na equação \(\pi_2\): \[ x + y - (y - x - 1) - 1 = 0 \] \[ x + y - y + x + 1 - 1 = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0 \] - Substituindo \(x = 0\) na equação de \(\pi_1\): \[ 0 - y + z + 1 = 0 \implies z = y - 1 \] - Portanto, a interseção é dada por: \[ (0, y, y - 1) \quad \text{para todo } y \] 3. Encontrar a equação do plano ortogonal ao vetor \(\vec{n}\): - Um plano ortogonal ao vetor \(\vec{n} = (-1, 1, -1)\) pode ser escrito na forma: \[ -1(x - x_0) + 1(y - y_0) - 1(z - z_0) = 0 \] - Usando um ponto da interseção, como \((0, y_0, y_0 - 1)\), a equação do plano se torna: \[ -x + y - z + y_0 + 1 = 0 \] 4. Substituir \(y_0\): - Para um ponto específico, por exemplo, \(y_0 = 0\): \[ -x + y - z + 0 + 1 = 0 \implies -x + y - z + 1 = 0 \] Portanto, a equação do plano que contém a interseção dos planos \(\pi_1\) e \(\pi_2\) e é ortogonal ao vetor \(\vec{n}\) é: \[ -x + y - z + 1 = 0 \]