Para determinar a equação do lugar geométrico dos pontos \( P(x, y, z) \) cuja soma das distâncias a \( P_1(2, 0, 0) \) e \( P_2(-2, 0, 0) \) é igual a 6, utilizamos a definição de distância entre dois pontos no espaço. A distância de \( P \) a \( P_1 \) é dada por: \[ d(P, P_1) = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} \] E a distância de \( P \) a \( P_2 \) é: \[ d(P, P_2) = \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} \] A condição dada é que a soma dessas distâncias é igual a 6: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x + 2)^2 + y^2 + z^2} = 6 \] Esse é o lugar geométrico de uma elipse, onde os focos são os pontos \( P_1 \) e \( P_2 \), e a soma das distâncias a esses focos é constante (neste caso, 6). Para simplificar, elevamos ao quadrado ambos os lados da equação, mas isso pode ser um pouco complicado. A forma mais direta é reconhecer que a equação representa uma elipse centrada no eixo \( x \). A equação final da elipse, considerando que a soma das distâncias é 6 e a distância entre os focos é 4 (de \( -2 \) a \( 2 \)), é: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2 + z^2}{4} = 1 \] Portanto, a equação do lugar geométrico é: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2 + z^2}{4} = 1 \]