Prova_4_GAAL_com_gabarito

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Universidade Federal de Santa Catarina – Campus Blumenau
Curso(s): Engenharia Têxtil
Professora: Daniela Amazonas
Geo. Analítica e Álg. Linear – 2019.1 – Prova P4 – 04/07/2019
Aluno(a) GABARITO
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
∑
INSTRUÇÕES
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA OU QUE NÃO INCLUAM OS CÁLCULOS NECESSÁRIOS NÃO
SERÃO CONSIDERADAS.
A PROVA DEVE SER FEITA EM CANETA AZUL OU PRETA.
Questão 1. (2,0pts) Dadas as retas r :
x− 2
2
=
y
2
= z e s : x − 2 = y = z. Obtenha a
equação geral do plano determinado por r e s.
Questão 2. (2,0pts) Dados os planos π1 : x−y+z+1 = 0 e π2 : x+y−z−1 = 0, determine
o plano que contém π1 ∩ π2 e é ortogonal ao vetor ~n = (−1, 1,−1).
Questão 3. (2,0pts) Seja r1 a reta que passa pelos pontos A(1, 0, 0) e B(0, 2, 0) e r2 : x− 2 =
y − 3
2
=
z − 4
3
. Calcule a distância entre r1 e r2.
Questão 4. (2,0pts) Identifique a cônica e encontre o centro, os vértices, os focos e a excen-
tricidade.
a) 9x2 + 4y2 − 18x+ 8y − 23 = 0
b) 25y2 − 9x2 − 50y − 54x− 281 = 0
Questão 5. (2,0pts) Qual é o perímetro de um triângulo com um vértice sobre a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e os outros dois vértices sobre os focos dessa mesma elipse?
Questão 6. (2,0pts)(Bônus) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P (x, y, z)
tais que a soma das distâncias de P aos dois pontos P1(2, 0, 0) e P2(−2, 0, 0) é igual a 6.
Geo. Analítica e Álg. Linear – 2019.1 – Prova P4 – 04/07/2019 2/3
RESOLUÇÃO
Q1) Os vetores diretores das retas ~v1 = (2, 2, 1) e ~v2 = (1, 1, 1) são paralelos ao plano procu-
rado π. Assim, o produto vetorial ~v1 × ~v2 é um vetor normal a π.
~n = ~v1 × ~v2 = (1,−1, 0) (1,0 pontos) X
Assim, a equação de π é x−y+d = 0. Para determinar d, substituímos o ponto P1(2, 0, 0)
da reta r na equação do plano obtendo d = −2. Logo a equação do plano é x− y − 2 = 0
(1,0 pontos) X
======================================================================
Q2) O vetor~n = (−1, 1,−1) é normal ao plano. A equação do plano é então−x+y−z+d = 0
(1,0 pontos) X. Fazendo z = 0 nas equações dos planos π1 e π2 e resolvendo o sistema
resultante, obtemos x = 0 e y = 1. Portanto, o ponto P (0, 1, 0) pertence a π1 e π2.
Substituindo o pontoP (0, 1, 0) na equação do plano procurado obtemos−x+y−z−1 = 0
(1,0 pontos) X
======================================================================
Q3) O vetor diretor de r1 é ~v1 = (−1, 2, 0) e o vetor diretor de r2 é ~v2 = (1, 2, 3), logo as
retas são concorrentes. Seja P1(1, 0, 0)um ponto pertencente a r1 e P2(2, 3, 4) um ponto
pertencente a r2, temos que ~P1P2(1, 3, 4) (1,0 pontos) X que substituindo na fórmula da
distância entre duas retas concorrentes, temos
d(r, s) =
| ~P1P2.(~v1 × ~v2)|
~v1 × ~v2
=
1√
61
(1,0 pontos) X
======================================================================
Q4) a) Manipulando a equação para escrevê-la no forma geral obtemos
(x− 1)2
4
+
(y + 1)2
9
= 1
Assim a cônica é uma elipse com a = 3, b = 2 e c =
√
5 (1,0 pontos) X. Logo o
centro é C(1,−1), os vértices são V1(1,−4) e V2(1, 2), os focos são F1(1,−1−
√
5) e
F2(1,−1 +
√
5) e a excentricidade é e =
√
5
3
(1,0 pontos) X
b) Manipulando a equação para escrevê-la no forma geral obtemos
(y − 1)2
9
− (x+ 3)2
25
= 1
Assim a cônica é uma hipérbole com a = 3, b = 5 e c =
√
34 (1,0 pontos) X. Logo o
centro éC(−3, 1), os vértices são V1(−3,−2) e V2(−3, 4), os focos sãoF1(−3, 1+
√
34)
e F2(−3, 1−
√
34) e a excentricidade é e =
√
34
3
(1,0 pontos) X
======================================================================
Q5) A distância entre os dois focos é 2c o que nos dá um dos lados do triângulo (0,5 pontos)X e
a soma das distâncias de cada foco a um ponto da elipse é 2a que é a soma do comprimento
dos outros dois lados do triângulo (0,5 pontos)X, assim o perímetro do triângulo é 2a+2c.
(1,0 pontos) X
======================================================================
Geo. Analítica e Álg. Linear – 2019.1 – Prova P4 – 04/07/2019 3/3
Q6) Para determinar o lugar geométrico temos que fazer
dist(P, P1) + dist(P, P2) = 6
√
(x− 2)2 + y2 + z2 +
√
(x+ 2)2 + y2 + z2 = 6 (0,5 pontos) X
√
(x− 2)2 + y2 + z2 = 6−
√
(x+ 2)2 + y2 + z2
2x+ 9 = 3
√
(x+ 2)2 + y2 + z2
5x2 + 9y2 + 9z2 = 45
x2
9
+
y2
5
+
z2
5
= 1 (1,0 pontos) X
Logo o lugar geométrico é um elipsóide. (0,5 pontos)X