Questão 1. (2,0pts) Dadas as retas r : x− 2/2 = y/2 = z e s : x − 2 = y = z. Obtenha a equação geral do plano determinado por r e s.

Para encontrar a equação geral do plano determinado pelas retas \( r \) e \( s \), vamos seguir os passos: 1. Identificar os vetores diretores das retas: - A reta \( r \) pode ser escrita na forma paramétrica: \[ \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \] O vetor diretor de \( r \) é \( \vec{d_r} = (2, 2, 1) \). - A reta \( s \) pode ser escrita na forma paramétrica: \[ \begin{cases} x = 2 + u \\ y = u \\ z = u \end{cases} \end{cases} \] O vetor diretor de \( s \) é \( \vec{d_s} = (1, 1, 1) \). 2. Encontrar um ponto comum: - Para encontrar um ponto que pertença a ambas as retas, podemos igualar as equações. Por exemplo, para \( t = 0 \) em \( r \): \[ P(2, 0, 0) \] - Para \( s \), se \( u = 0 \): \[ P(2, 0, 0) \] - Assim, o ponto \( P(2, 0, 0) \) é um ponto comum. 3. Encontrar o vetor normal ao plano: - O vetor normal \( \vec{n} \) ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores: \[ \vec{n} = \vec{d_r} \times \vec{d_s} = (2, 2, 1) \times (1, 1, 1) \] - Calculando o produto vetorial: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2-1)\hat{i} - (2-1)\hat{j} + (2-2)\hat{k} = (1, -1, 0) \] 4. Equação do plano: - A equação do plano na forma geral é dada por: \[ n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0 \] - Substituindo \( \vec{n} = (1, -1, 0) \) e o ponto \( P(2, 0, 0) \): \[ 1(x - 2) - 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0 \] - Simplificando, temos: \[ x - y - 2 = 0 \] - Portanto, a equação geral do plano é: \[ x - y = 2 \] Essa é a equação do plano determinado pelas retas \( r \) e \( s \).