Para calcular a distância entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a equação paramétrica da reta \( r_1 \): A reta \( r_1 \) passa pelos pontos \( A(1, 0, 0) \) e \( B(0, 2, 0) \). O vetor diretor \( \vec{d_1} \) pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de \( A \) de \( B \): \[ \vec{d_1} = B - A = (0 - 1, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0) \] A equação paramétrica de \( r_1 \) é: \[ r_1: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2t \\ z = 0 \end{cases} \] 2. Identificar a equação da reta \( r_2 \): A reta \( r_2 \) é dada por: \[ r_2: \begin{cases} x = 2 + s \\ y = 3 + 2s \\ z = 4 + 3s \end{cases} \] 3. Encontrar um vetor normal entre as duas retas: O vetor diretor de \( r_2 \) é \( \vec{d_2} = (1, 2, 3) \). O vetor normal \( \vec{n} \) entre as duas retas pode ser encontrado pelo produto vetorial: \[ \vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = (-1, 2, 0) \times (1, 2, 3) \] Calculando o produto vetorial: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 \cdot 3 - 0 \cdot 2) - \hat{j}(-1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) + \hat{k}(-1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) \] \[ = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k} = (6, 3, -4) \] 4. Encontrar um ponto em cada reta: Para \( r_1 \), podemos usar \( A(1, 0, 0) \) e para \( r_2 \), podemos usar \( (2, 3, 4) \). 5. Calcular a distância entre os pontos: A distância \( d \) entre os pontos \( P_1(1, 0, 0) \) e \( P_2(2, 3, 4) \) ao longo da direção do vetor normal \( \vec{n} \) é dada pela fórmula: \[ d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] Onde \( P_2 - P_1 = (2 - 1, 3 - 0, 4 - 0) = (1, 3, 4) \). 6. Calcular o produto escalar: \[ (1, 3, 4) \cdot (6, 3, -4) = 1 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot (-4) = 6 + 9 - 16 = -1 \] 7. Calcular o módulo do vetor normal: \[ |\vec{n}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61} \] 8. Calcular a distância: \[ d = \frac{|-1|}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}} \] Portanto, a distância entre as retas \( r_1 \) e \( r_2 \) é \( \frac{1}{\sqrt{61}} \).