Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^4\): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] 2. Integral de \(-2x^3\): \[ \int -2x^3 \, dx = -\frac{2x^4}{4} = -\frac{x^4}{2} \] 3. Integral de \(x^2\): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{1^5}{5} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^3}{3} \right] - \left[ \frac{0^5}{5} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^3}{3} \right] \] \[ = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de \(5\), \(2\) e \(3\) é \(30\). Convertendo as frações: \[ \frac{1}{5} = \frac{6}{30}, \quad -\frac{1}{2} = -\frac{15}{30}, \quad \frac{1}{3} = \frac{10}{30} \] Agora, somamos: \[ \frac{6}{30} - \frac{15}{30} + \frac{10}{30} = \frac{6 - 15 + 10}{30} = \frac{1}{30} \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\) é \(\frac{1}{30}\). Como essa alternativa não está listada, parece que houve um erro nas opções. Você pode verificar as opções novamente ou criar uma nova pergunta.