Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^3\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \] Avaliando de 0 a 1: \[ \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \] 2. Integral de \(2x^2\): \[ \int 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2x^3}{3} \] Avaliando de 0 a 1: \[ \left[\frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2 \cdot 1^3}{3} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} = \frac{2}{3} \] Agora, somamos os resultados das duas integrais: \[ \int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4 e 3 é 12: \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{e} \quad \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \] Portanto: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \(\frac{3}{4}\) B) \(\frac{4}{5}\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{5}{12}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{11}{12}\). Parece que a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode verificar se as alternativas estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.