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Problema: Calcule a integral \(\int \cos(x) \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) \(\sin(x) + C\)
B) \(-\sin(x) + C\)
C) \(\cos(x) + C\)
D) \(\frac{1}{\sin(x)} + C\)
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Aprendendo com Desafios

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Para calcular a integral \(\int \cos(x) \, dx\), precisamos lembrar que a derivada de \(\sin(x)\) é \(\cos(x)\). Portanto, a integral de \(\cos(x)\) é: \[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \(\sin(x) + C\) - Correta, pois é a integral de \(\cos(x)\). B) \(-\sin(x) + C\) - Incorreta, pois a derivada de \(-\sin(x)\) é \(-\cos(x)\). C) \(\cos(x) + C\) - Incorreta, pois a derivada de \(\cos(x)\) é \(-\sin(x)\). D) \(\frac{1}{\sin(x)} + C\) - Incorreta, pois não é a forma correta da integral. Portanto, a alternativa correta é: A) \(\sin(x) + C\).

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Problema: Calcule a integral \(\int x e^{2x} \, dx\) usando integração por partes. Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) \(\frac{1}{2} e^{2x}(x - \frac{1}{2}) + C\)
B) \(\frac{1}{2} e^{2x}(x + \frac{1}{2}) + C\)
C) \(e^{2x}(x - 1) + C\)
D) \(e^{2x}(x + 1) + C\)

Problema: Determine o valor da integral \(\int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) \(\frac{1}{5}\)
B) \(\frac{1}{10}\)
C) \(\frac{1}{15}\)
D) \(\frac{1}{20}\)

Problema: Calcule o determinante da matriz \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) 0
B) 1
C) -1
D) 2

Problema: Resolva a equação diferencial \(y' + 4y = e^{-x}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) \(y = Ce^{-4x} - \frac{1}{5} e^{-x}\)
B) \(y = Ce^{-4x} + \frac{1}{5} e^{-x}\)
C) \(y = e^{-x} + C\)
D) \(y = Ce^{4x} - e^{-x}\)

Problema: Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 3x^2}{2x^3 + 4}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) \(\frac{5}{2}\)
B) 1
C) \(\infty\)
D) 0

Problema: Calcule a integral \(\int \frac{1}{x} \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) \(\ln|x| + C\)
B) \(\frac{1}{2} \ln|x| + C\)
C) \(x + C\)
D) \(-\frac{1}{x} + C\)

Problema: Calcule a integral definida \(\int_1^3 (2x^2 - 3x + 1) \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) 2
B) 4
C) 3
D) 5

Problema: Determine o valor de \(\int_0^1 (x^3 + 2x^2) \, dx\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) \(\frac{3}{4}\)
B) \(\frac{4}{5}\)
C) \(\frac{1}{2}\)
D) \(\frac{5}{12}\)

Problema: Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\). Agora, escolha a alternativa CORRETA:

A) 0
B) 1
C) \(\infty\)
D) Não existe

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