Determine o valor de k? real sabendo que o módulo do vetor u(k, 10, 6) vale o módulo do vetor й (-5, 0, 12) mais 2 unidades.

Para resolver a questão, precisamos calcular os módulos dos vetores \( \mathbf{u}(k, 10, 6) \) e \( \mathbf{v}(-5, 0, 12) \). 1. Cálculo do módulo do vetor \( \mathbf{v} \): \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] 2. Módulo do vetor \( \mathbf{u} \): \[ |\mathbf{u}| = \sqrt{k^2 + 10^2 + 6^2} = \sqrt{k^2 + 100 + 36} = \sqrt{k^2 + 136} \] 3. Condição dada: O módulo do vetor \( \mathbf{u} \) é igual ao módulo do vetor \( \mathbf{v} \) mais 2 unidades: \[ \sqrt{k^2 + 136} = 13 + 2 \] \[ \sqrt{k^2 + 136} = 15 \] 4. Elevando ao quadrado ambos os lados: \[ k^2 + 136 = 15^2 \] \[ k^2 + 136 = 225 \] 5. Isolando \( k^2 \): \[ k^2 = 225 - 136 \] \[ k^2 = 89 \] 6. Calculando \( k \): \[ k = \pm \sqrt{89} \] Portanto, os valores de \( k \) são \( k = \sqrt{89} \) ou \( k = -\sqrt{89} \).