Para analisar as sentenças sobre a sequência \( P_n = (x_n, y_n) \), precisamos entender o comportamento de \( x_n \) e \( y_n \). 1. I. (Pn) é uma sequência limitada. Para que uma sequência seja limitada, deve existir um número real \( M \) tal que a norma \( ||P_n|| \) (ou seja, \( \sqrt{x_n^2 + y_n^2} \)) seja menor ou igual a \( M \) para todo \( n \). A sequência \( y_n = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} 2k} \) cresce com \( n \), pois a soma dos primeiros \( n \) números naturais é \( n(n+1)/2 \), o que implica que \( y_n \) não é limitada. Portanto, essa afirmativa é falsa. 2. II. (Pn) é uma sequência de Cauchy. Uma sequência é de Cauchy se, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( N \) tal que para todos \( m, n > N \), temos \( ||P_m - P_n|| < \epsilon \). Como \( y_n \) não é limitada e cresce indefinidamente, a sequência não pode ser de Cauchy. Portanto, essa afirmativa é falsa. 3. III. (Pn) é uma sequência convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um limite finito. Como já estabelecemos que \( y_n \) não é limitada e cresce indefinidamente, a sequência não pode convergir. Portanto, essa afirmativa é falsa. Com base na análise, todas as sentenças são falsas. Portanto, não há uma alternativa correta que contenha itens verdadeiros. Se precisar de mais informações ou de uma nova pergunta, estou à disposição!