Para calcular o volume \( V \) do sólido acima da região retangular \( R = [0,2] \times [1,2] \) e abaixo da superfície \( f(x,y) = x + 3y^2 \), utilizamos a integral dupla: \[ V = \iint_R f(x,y) \, dA \] Primeiro, definimos os limites da integral. Para a região \( R \): - \( x \) varia de 0 a 2 - \( y \) varia de 1 a 2 Assim, a integral dupla fica: \[ V = \int_{1}^{2} \int_{0}^{2} (x + 3y^2) \, dx \, dy \] Agora, vamos calcular a integral interna: \[ \int_{0}^{2} (x + 3y^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 3y^2 x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{2} + 3y^2 \cdot 2 \right) - \left( 0 \right) = 2 + 6y^2 \] Agora, substituímos isso na integral externa: \[ V = \int_{1}^{2} (2 + 6y^2) \, dy \] Calculando a integral: \[ V = \left[ 2y + 2y^3 \right]_{1}^{2} = \left( 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^3 \right) - \left( 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1^3 \right) \] Calculando os valores: \[ = (4 + 16) - (2 + 2) = 20 - 4 = 16 \] Portanto, o volume do sólido considerado é \( V = 16 \).