Qual o resultado da integral definida de x^2 + 2x + 3 dx no intervalo de 1 a 3? a) 11 b) 16 c) 18 d) 22

Para calcular a integral definida de \( x^2 + 2x + 3 \) no intervalo de 1 a 3, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 2x + 3 \): - A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). - A antiderivada de \( 2x \) é \( x^2 \). - A antiderivada de \( 3 \) é \( 3x \). - Portanto, a antiderivada completa é \( \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \). 2. Avaliar a antiderivada nos limites de 1 a 3: - Primeiro, calculamos em \( x = 3 \): \[ F(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3 = \frac{27}{3} + 9 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 \] - Agora, calculamos em \( x = 1 \): \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + 3 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 1 + 3 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3} \] 3. Subtrair os resultados: \[ \int_{1}^{3} (x^2 + 2x + 3) \, dx = F(3) - F(1) = 27 - \frac{13}{3} = \frac{81}{3} - \frac{13}{3} = \frac{68}{3} \approx 22.67 \] Como a resposta não é exata, mas se aproximando de 22, a alternativa correta é: d) 22.