Para resolver a questão, vamos primeiro entender as informações dadas sobre a matriz \( A \). 1. Matriz triangular superior de ordem 3: Isso significa que a matriz tem a seguinte forma: \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} \] 2. Traço igual a 14: O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Portanto, temos: \[ a_{11} + a_{22} + a_{33} = 14 \] 3. Relação entre os elementos: Temos que \( a_{11} = 2a_{22} = 4a_{33} \). Vamos definir \( a_{33} = x \). Assim, podemos expressar os outros elementos em termos de \( x \): \[ a_{22} = \frac{x}{4} \quad \text{e} \quad a_{11} = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2} \] 4. Substituindo na equação do traço: \[ \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + x = 14 \] Multiplicando tudo por 4 para eliminar os denominadores: \[ 2x + x + 4x = 56 \implies 7x = 56 \implies x = 8 \] 5. Encontrando os elementos: \[ a_{33} = 8, \quad a_{22} = \frac{8}{4} = 2, \quad a_{11} = \frac{8}{2} = 4 \] 6. Agora, a matriz fica: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 2 & a_{23} \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \] 7. Para encontrar \( b_{13} + b_{22} + b_{31} \), precisamos dos valores de \( b_{ij} \). A relação dada é \( a_{ij} = j - 3i \): - Para \( i = 1, j = 3 \): \( a_{13} = 3 - 3 \cdot 1 = 0 \) - Para \( i = 2, j = 2 \): \( a_{22} = 2 - 3 \cdot 2 = -4 \) - Para \( i = 3, j = 1 \): \( a_{31} = 1 - 3 \cdot 3 = -8 \) (mas \( a_{31} = 0 \) porque é triangular superior) 8. Calculando a soma: \[ b_{13} + b_{22} + b_{31} = 0 + (-4) + 0 = -4 \] Portanto, o valor da soma \( b_{13} + b_{22} + b_{31} \) é -4.