Qual o valor da derivada da função f(x) = x^2 sen(x) no ponto x = π/2? a) 1 b) 0 c) -1 d) π/2

Para encontrar o valor da derivada da função \( f(x) = x^2 \sin(x) \) no ponto \( x = \frac{\pi}{2} \), precisamos usar a regra do produto, já que a função é o produto de duas funções: \( u(x) = x^2 \) e \( v(x) = \sin(x) \). A derivada do produto \( f(x) = u(x)v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Calculando as derivadas: 1. \( u'(x) = 2x \) 2. \( v'(x) = \cos(x) \) Substituindo na fórmula da derivada: \[ f'(x) = (2x)(\sin(x)) + (x^2)(\cos(x)) \] Agora, substituímos \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = (2 \cdot \frac{\pi}{2})(\sin(\frac{\pi}{2})) + \left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right)(\cos(\frac{\pi}{2})) \] Sabemos que \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \) e \( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \): \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = (2 \cdot \frac{\pi}{2})(1) + \left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right)(0) \] \[ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi + 0 = \pi \] Como nenhuma das alternativas corresponde a \( \pi \), parece que houve um erro nas opções. No entanto, se considerarmos que a pergunta pede o valor da derivada e não está entre as opções, a resposta correta não está listada. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!