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Qual é a derivada da função f(x) = e^x \, ext{cos}(x)?

a) e^x \, ext{sin}(x)
b) e^x \, ext{cos}(x)
c) e^x ( ext{sin}(x) + ext{cos}(x))
d) e^x \, ext{cos}(x) - e^x \, ext{sin}(x)
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Estudando com Questões

há 11 meses

Respostas

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há 11 meses

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^x \cos(x) \), precisamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ (fg)' = f'g + fg' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^x \) e \( v(x) = \cos(x) \) Calculando as derivadas: - \( u'(x) = e^x \) - \( v'(x) = -\sin(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = e^x \cos(x) + e^x (-\sin(x)) \] Simplificando, temos: \[ f'(x) = e^x \cos(x) - e^x \sin(x) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( e^x \sin(x) \) - Incorreto. b) \( e^x \cos(x) \) - Incorreto. c) \( e^x (\sin(x) + \cos(x)) \) - Incorreto. d) \( e^x \cos(x) - e^x \sin(x) \) - Correto. Portanto, a alternativa correta é: d) \( e^x \cos(x) - e^x \sin(x) \).

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