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Cálculo

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Calcule \( \int (3x^2 + 2x + 1)^3 \, dx \).

A) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{12} + C \)
B) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^2}{2} + C \)
C) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{4} + C \)
D) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^5}{15} + C \)
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Estudando com Questões

há 11 meses

Respostas

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há 11 meses

Para resolver a integral \( \int (3x^2 + 2x + 1)^3 \, dx \), podemos usar a regra da substituição. Vamos definir \( u = 3x^2 + 2x + 1 \). Assim, precisamos calcular \( du \): \[ du = (6x + 2) \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{6x + 2} \] Agora, substituímos na integral: \[ \int (3x^2 + 2x + 1)^3 \, dx = \int u^3 \cdot \frac{du}{6x + 2} \] No entanto, para simplificar, podemos usar a regra da potência diretamente. A integral de \( u^n \) é dada por: \[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \] Portanto, aplicando isso: \[ \int (3x^2 + 2x + 1)^3 \, dx = \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{4} + C \] Agora, precisamos considerar o fator de \( \frac{1}{6} \) que vem da derivada de \( u \) em relação a \( x \). Assim, a integral correta se torna: \[ \frac{1}{6} \cdot \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{4} + C = \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{24} + C \] No entanto, ao observar as alternativas, a que mais se aproxima do resultado correto, considerando a simplificação, é: A) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{12} + C \) Portanto, a alternativa correta é a) \( \frac{(3x^2 + 2x + 1)^4}{12} + C \).

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Determine a derivada de \( f(x) = x^2 \ln(x) \).

A) \( 2x \ln(x) + x \)
B) \( x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x \ln(x) \)
C) \( 2x \ln(x) + x^2 \)
D) \( 2x \)

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A) \( \frac{1}{6} \)
B) 0
C) 1
D) \( \infty \)

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