Para encontrar o valor de \( \sin(4x) \) em termos de \( \sin x \) e \( \cos x \), podemos usar a fórmula de ângulo duplo. A fórmula para \( \sin(2x) \) é: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] Agora, aplicando essa fórmula novamente para \( \sin(4x) \): \[ \sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2\sin(2x)\cos(2x) \] Substituindo \( \sin(2x) \) na expressão: \[ \sin(4x) = 2(2\sin(x)\cos(x))\cos(2x) \] E sabemos que \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \). Portanto, a expressão se torna mais complexa, mas podemos verificar as alternativas. Analisando as opções: a) \( 2\sin(2x)\cos(2x) \) - Esta é uma forma correta, mas não está em termos de \( \sin x \) e \( \cos x \) diretamente. b) \( 4\sin^2 x - 3\sin x \) - Não é uma forma correta para \( \sin(4x) \). c) \( 2\sin^2 x - 1 \) - Esta é a forma de \( \cos(2x) \), não de \( \sin(4x) \). d) \( 4\sin^3 x - 3\sin x \) - Esta é a forma correta para \( \sin(3x) \), mas não para \( \sin(4x) \). A alternativa correta que representa \( \sin(4x) \) em termos de \( \sin x \) e \( \cos x \) é a) \( 2\sin(2x)\cos(2x) \), pois é a forma mais próxima e correta, mesmo que não esteja totalmente simplificada.