Qual é o valor de \( 1 + \cot^2 x \)? a) \( \sin^2 x \) b) \( \cos^2 x \) c) \( \csc^2 x \) d) \( \sec^2 x \)

Para resolver a questão, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona a cotangente e a cosecante. Sabemos que: \[ \cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \] Assim, podemos reescrever \( 1 + \cot^2 x \): \[ 1 + \cot^2 x = 1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \] Colocando tudo sob um denominador comum: \[ 1 + \cot^2 x = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \] Sabemos que \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), então: \[ 1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \] Portanto, a alternativa correta é: c) \( \csc^2 x \)