24. **Problema 24**: Se z = 4e^{i\frac{\pi}{3}}, qual é a forma retangular de z? A) 2 + 2\sqrt{3}i B) 4 + 0i C) 4\sqrt{3} + 4i D) 2 + 4i

Para encontrar a forma retangular de \( z = 4e^{i\frac{\pi}{3}} \), precisamos usar a fórmula de Euler, que nos diz que \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). 1. Primeiro, identificamos \( \theta = \frac{\pi}{3} \). 2. Calculamos \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \) e \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \): - \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) - \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) 3. Agora, substituímos na fórmula: \[ z = 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 4\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] 4. Multiplicando: \[ z = 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\sqrt{3}i \] Portanto, a forma retangular de \( z \) é \( 2 + 2\sqrt{3}i \). A alternativa correta é: A) 2 + 2\sqrt{3}i.