Para que a equação diferencial dada seja de segunda ordem, linear e homogênea, precisamos analisar a forma da equação e os termos envolvidos. A equação que você apresentou é: \[ u(x,z) x^n - 2x + 2z^2 = z^2 v(x,z) \] Para que a equação seja de segunda ordem, precisamos que os termos que envolvem \( z \) e suas derivadas apareçam de forma que a equação possa ser expressa como uma combinação linear de \( z \) e suas derivadas. Uma forma comum de garantir que a equação seja homogênea é que todos os termos sejam múltiplos de \( z \) ou suas derivadas. Assim, podemos considerar: 1. Escolha de \( u(x,z) \): Um exemplo simples seria \( u(x,z) = z^2 \). 2. Escolha de \( v(x,z) \): Poderíamos escolher \( v(x,z) = 1 \). Com essas escolhas, a equação se torna: \[ z^2 x^n - 2x + 2z^2 = z^2 \cdot 1 \] Isso simplifica para: \[ z^2 x^n - 2x + 2z^2 - z^2 = 0 \] Ou seja: \[ z^2 x^n - 2x + z^2 = 0 \] Agora, a equação é homogênea, pois todos os termos são múltiplos de \( z^2 \) e \( x^n \). Portanto, uma alternativa que apresenta valores para \( u(x,z) \) e \( v(x,z) \) que satisfazem as condições da equação diferencial é: - \( u(x,z) = z^2 \) - \( v(x,z) = 1 \) Se precisar de mais ajuda, é só avisar!