determine quais os intervalos nos podemos garantir que a equação diferencial y"+4x²y'+4y=cosx

Para determinar os intervalos em que podemos garantir que a equação diferencial \( y'' + 4x^2y' + 4y = \cos(x) \) tem solução, precisamos analisar a equação. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para garantir a existência e unicidade da solução, podemos usar o Teorema de Existence and Uniqueness (Teorema de Picard-Lindelöf), que afirma que, se a função e suas derivadas são contínuas em um intervalo, então existe uma solução única nesse intervalo. 1. Identificação das funções: A equação pode ser reescrita na forma padrão: \[ y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) \] onde \( p(x) = 4x^2 \), \( q(x) = 4 \) e \( g(x) = \cos(x) \). 2. Continuidade das funções: As funções \( p(x) \), \( q(x) \) e \( g(x) \) são contínuas para todos os \( x \) reais, pois \( 4x^2 \) e \( 4 \) são polinômios e \( \cos(x) \) é uma função trigonométrica contínua. 3. Intervalos de solução: Como todas as funções envolvidas são contínuas em \( \mathbb{R} \), podemos garantir que a equação diferencial tem solução em qualquer intervalo \( (a, b) \) onde \( a \) e \( b \) são números reais. Portanto, a resposta é que a equação diferencial tem solução em qualquer intervalo \( (a, b) \) em \( \mathbb{R} \).