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Problema 12: Calcule a integral \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

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há 2 anos

Para calcular a integral \(\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(-3x^2\) é \(-x^3\). 3. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada \(F(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(2)\) e \(F(1)\): \[ F(2) = \frac{2^4}{4} - 2^3 + 2 \cdot 2 = \frac{16}{4} - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 \] \[ F(1) = \frac{1^4}{4} - 1^3 + 2 \cdot 1 = \frac{1}{4} - 1 + 2 = \frac{1}{4} - 1 + \frac{8}{4} = \frac{1 + 8 - 4}{4} = \frac{5}{4} \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2) \, dx = F(2) - F(1) = 0 - \frac{5}{4} = -\frac{5}{4} \] Como nenhuma das alternativas corresponde a \(-\frac{5}{4}\), parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se a função ou os limites da integral estão corretos?

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