Problema 13: Determine o valor de \int_0^1 x e^{x^2} \, dx. A) \frac{1}{2} (e - 1) B) \frac{1}{2} e C) e - 1 D) 1

Para resolver a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\), podemos usar a substituição. Vamos fazer a substituição \(u = x^2\), o que implica que \(du = 2x \, dx\) ou \(dx = \frac{du}{2x}\). Quando \(x = 0\), \(u = 0\) e quando \(x = 1\), \(u = 1\). Substituindo na integral, temos: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 e^u \, du \] Agora, calculamos a integral \(\int_0^1 e^u \, du\): \[ \int e^u \, du = e^u + C \] Portanto, \[ \int_0^1 e^u \, du = e^1 - e^0 = e - 1 \] Substituindo de volta, temos: \[ \int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} (e - 1) \] Assim, a resposta correta é a) \(\frac{1}{2} (e - 1)\).