Problema 15: Determine o valor de \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx. A) \frac{\sqrt{\pi}}{2} B) \sqrt{\pi} C) \frac{1}{2} D) 1

Para resolver a integral \(\int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx\), podemos usar o resultado conhecido da integral gaussiana. A integral completa de \(e^{-x^2}\) de \(-\infty\) a \(\infty\) é igual a \(\sqrt{\pi}\). Como a função \(e^{-x^2}\) é simétrica em relação ao eixo y, a integral de \(0\) a \(\infty\) é metade da integral de \(-\infty\) a \(\infty\). Portanto, temos: \[ \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \] Assim, a resposta correta é: A) \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)