Vamos analisar a função \( f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) dada por \( f(x,y) = (x-y, 0) \). 1. Verificando o núcleo (ker f): O núcleo de uma função é o conjunto de todos os elementos que são mapeados para o elemento neutro (neste caso, \( (0,0) \)). Para \( f(x,y) = (0,0) \), temos: \[ (x-y, 0) = (0,0) \implies x - y = 0 \implies x = y. \] Portanto, \( \text{ker } f = \{(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid x = y\} \), o que confirma a alternativa B. 2. Verificando se f é um isomorfismo: Para que \( f \) seja um isomorfismo, precisa ser injetora e sobrejetora. Vamos verificar: - Injetividade: Se \( f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \), então \( (x_1 - y_1, 0) = (x_2 - y_2, 0) \). Isso implica que \( x_1 - y_1 = x_2 - y_2 \), mas não garante que \( (x_1, y_1) = (x_2, y_2) \). Portanto, não é injetora. - Sobrejetividade: A imagem de \( f \) é do tipo \( (a, 0) \) onde \( a \in \mathbb{Z} \). Não cobre todos os elementos de \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \), pois não existem pares da forma \( (a, b) \) com \( b \neq 0 \). Portanto, não é sobrejetora. 3. Analisando as alternativas: - A) f é um isomorfismo. (FALSO) - B) ker f = {(x,y) ∈ Z×Z | x=y}. (VERDADEIRO) - C) ker f = {(0,0)}. (FALSO) - D) f é injetora. (FALSO) - E) f é sobrejetora. (FALSO) Portanto, a alternativa correta é a B.