Vamos analisar cada uma das alternativas em relação à função \( f(x) = ax \), onde \( 0 < a \neq 1 \). A) O núcleo de \( f \) não é trivial. - O núcleo de uma função \( f: R \to R^+ \) é o conjunto de \( x \) tal que \( f(x) = 0 \). Como \( f(x) = ax \) e \( a > 0 \), \( f(x) \) nunca será zero para \( x \neq 0 \). Portanto, o núcleo é trivial, contendo apenas o zero. Esta alternativa é falsa. B) \( f \) é um isomorfismo e \( f^{-1}(x) = \log_a x \). - Para que \( f \) seja um isomorfismo, deve ser bijetiva (injetiva e sobrejetiva). A função \( f(x) = ax \) é injetiva e, como \( a > 0 \), também é sobrejetiva em \( R^+ \). A inversa correta é \( f^{-1}(x) = \frac{\log_a x}{\log_a a} = \log_a x \), o que está correto. Esta alternativa é verdadeira. C) \( f \) não é um homomorfismo de grupos. - A função \( f \) é um homomorfismo de grupos, pois preserva a operação de adição. Portanto, esta alternativa é falsa. D) \( f \) não é um isomorfismo. - Como já analisado, \( f \) é um isomorfismo. Portanto, esta alternativa é falsa. E) \( f \) é um isomorfismo e \( f^{-1}(x) = \frac{1}{a} \). - A inversa não é \( \frac{1}{a} \), então esta alternativa é falsa. Diante da análise, a alternativa correta é: B) f é um isomorfismo e f^{-1}(x) = \log_a x.