Para analisar a aplicação \( f: (\mathbb{R} \times \mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^*, \cdot) \) dada por \( f(x, y) = 2^x \cdot y \), precisamos verificar se \( f \) é um homomorfismo de grupos e as propriedades que ele possui. 1. Homomorfismo: Para que \( f \) seja um homomorfismo, deve satisfazer a condição: \[ f((a, b) + (c, d)) = f((a+c, b+d)) = f(a, b) \cdot f(c, d) \] Vamos verificar: \[ f((a+c, b+d)) = 2^{a+c} \cdot (b+d) = 2^a \cdot y \cdot 2^c \cdot d = (2^a \cdot b) \cdot (2^c \cdot d) = f(a, b) \cdot f(c, d) \] Portanto, \( f \) é um homomorfismo. 2. Núcleo: O núcleo de \( f \) é o conjunto de elementos que são mapeados para o elemento neutro do grupo de chegada, que é 1 em \( \mathbb{R}^* \). Precisamos resolver: \[ f(x, y) = 1 \implies 2^x \cdot y = 1 \implies y = \frac{1}{2^x} \] O núcleo não é trivial, pois existem infinitos pares \( (x, y) \) que satisfazem essa condição. 3. Injetividade: Para que \( f \) seja injetor, \( f(a, b) = f(c, d) \) deve implicar que \( (a, b) = (c, d) \). Como o núcleo não é trivial, \( f \) não é injetor. 4. Sobrejetividade: Para que \( f \) seja sobrejetor, deve ser possível alcançar qualquer elemento de \( \mathbb{R}^* \) a partir de \( f(x, y) \). Como \( y \) pode assumir qualquer valor real não nulo, e \( 2^x \) pode ser qualquer número positivo, \( f \) é sobrejetor. Analisando as alternativas: A) f é um homomorfismo que tem núcleo trivial. (FALSO) B) f é um homomorfismo injetor. (FALSO) C) f não é um homomorfismo de grupos. (FALSO) D) f((a,b)+(c,d))=f((a+c,b+d)). (VERDADEIRO) E) f é um homomorfismo sobrejetor. (VERDADEIRO) A alternativa correta é a D.