Para resolver a equação diferencial \(y' + 6y = e^{-x}\), vamos usar o método do fator integrante. 1. Identificar o fator integrante: A equação é da forma \(y' + P(x)y = Q(x)\), onde \(P(x) = 6\) e \(Q(x) = e^{-x}\). O fator integrante é dado por \(e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 6 \, dx} = e^{6x}\). 2. Multiplicar a equação pelo fator integrante: \[ e^{6x}y' + 6e^{6x}y = e^{6x}e^{-x} \implies e^{6x}y' + 6e^{6x}y = e^{5x} \] 3. Reescrever a equação: A equação à esquerda é a derivada do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{6x}y) = e^{5x} \] 4. Integrar ambos os lados: \[ e^{6x}y = \int e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} e^{5x} + C \] 5. Isolar \(y\): \[ y = e^{-6x} \left(\frac{1}{5} e^{5x} + C\right) = \frac{1}{5} e^{-x} + Ce^{-6x} \] Agora, comparando com as alternativas dadas: A) \(y = Ce^{-6x} + \frac{1}{7} e^{-x}\) B) \(y = Ce^{-6x} + \frac{1}{6} e^{-x}\) C) \(y = Ce^{-6x} + e^{-x}\) D) \(y = Ce^{-6x} + \frac{1}{5} e^{-x}\) A alternativa correta é: D) \(y = Ce^{-6x} + \frac{1}{5} e^{-x}\).